Wie man eine lineare Gleichung grafisch darstellt (y = mx + b)

Wie man eine lineare Gleichung grafisch darstellt

Stellen Sie eine lineare Gleichung in Steigungsform grafisch dar, indem Sie den y-Achsenabschnitt auf der y-Achse eintragen, dann die Steigung als Anstieg über Laufweite verwenden, um zu einem zweiten Punkt zu gelangen, und eine Gerade durch beide Punkte zeichnen. Eine lineare Gleichung der Form y = mx + b ergibt als Graph eine Gerade, wobei m die Steigung und b den y-Achsenabschnitt festlegt. Für y = 2x + 1 tragen Sie den Punkt (0, 1) ein, steigen 2 und laufen 1, um (1, 3) zu erreichen, und verbinden Sie die beiden Punkte.

Eine lineare Gleichung hat eine bestimmende Eigenschaft: Ihr Graph ist immer eine Gerade, weil die Variable x den Exponenten 1 trägt. Zwei korrekte Punkte legen diese Gerade vollständig fest. Der Grafikrechner zeichnet jede lineare Gleichung in dem Moment, in dem sie eingegeben wird, und die folgende Methode zeigt, wie die Gerade Punkt für Punkt aufgebaut wird.

Die Steigungsform

Die Steigungsform einer linearen Gleichung ist y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Die Steigung m misst, wie steil die Gerade steigt oder fällt, und der y-Achsenabschnitt b markiert, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Diese beiden Zahlen beschreiben die gesamte Gerade.

Lesen Sie die beiden Werte direkt aus der Gleichung ab. In y = 2x + 1 ist die Steigung 2 und der y-Achsenabschnitt 1. In y = -0.5x + 3 ist die Steigung -0.5 und der y-Achsenabschnitt 3. Eine positive Steigung ergibt eine Gerade, die von links nach rechts steigt, und eine negative Steigung ergibt eine Gerade, die von links nach rechts fällt.

Wie man eine lineare Gleichung Schritt für Schritt grafisch darstellt

Stellen Sie eine lineare Gleichung in Steigungsform in 4 Schritten grafisch dar:

1. Tragen Sie den y-Achsenabschnitt b als Punkt auf der y-Achse ein, bei den Koordinaten (0, b).
2. Schreiben Sie die Steigung m als Bruch, Anstieg über Laufweite, sodass eine Steigung von 2 zu 2/1 wird.
3. Bewegen Sie sich vom y-Achsenabschnitt aus um den Anstieg nach oben und um die Laufweite nach rechts, um einen zweiten Punkt zu markieren.
4. Zeichnen Sie eine Gerade durch beide Punkte und verlängern Sie sie über die gesamte Koordinatenebene.

Bei einer negativen Steigung bewegen Sie sich um den Anstieg nach unten statt nach oben. Eine Steigung von -3/4 bedeutet 3 nach unten und 4 nach rechts. Zwei Punkte reichen aus, um die Gerade zu zeichnen, aber ein dritter Punkt, gefunden durch Wiederholen des Schritts Anstieg über Laufweite, bestätigt, dass die Gerade gerade verläuft.

Durchgerechnetes Beispiel: y = 2x + 1 grafisch darstellen

Stellen Sie die lineare Gleichung y = 2x + 1 mit Steigung und Achsenabschnitt grafisch dar.

1. Der y-Achsenabschnitt ist 1, tragen Sie also den Punkt (0, 1) auf der y-Achse ein.
2. Die Steigung ist 2, geschrieben als 2/1, also ist der Anstieg 2 und die Laufweite 1.
3. Von (0, 1) aus steigen Sie 2 und laufen 1, um den Punkt (1, 3) zu erreichen.
4. Zeichnen Sie eine Gerade durch (0, 1) und (1, 3).

Die Gerade verläuft durch (0, 1) und (1, 3) und setzt sich in beide Richtungen fort. Die Überprüfung eines dritten Punkts bestätigt den Graphen: bei x = 2 ist y = 2(2) + 1 = 5, und der Punkt (2, 5) liegt auf derselben Geraden. Der Grafikrechner-Simulator zeichnet diese Gerade und markiert jeden Punkt, wenn die Gleichung eingegeben wird.

Wie man eine lineare Gleichung aus zwei Punkten grafisch darstellt

Eine lineare Gleichung kann aus zwei beliebigen Punkten grafisch dargestellt werden, die sie erfüllen. Wählen Sie zwei x-Werte, berechnen Sie die zugehörigen y-Werte, tragen Sie die Punkte ein und zeichnen Sie die Gerade. Für y = 2x + 1 ergibt x = 0 den Wert y = 1 und x = 3 den Wert y = 7, also verläuft die Gerade durch (0, 1) und (3, 7).

Diese Methode funktioniert, wenn die Steigung mühsam von Hand abgetragen werden muss, etwa bei einer Steigung von 7 oder einem Bruch mit großem Nenner. Zwei Punkte bestimmen eine Gerade, also liefert jedes korrekte Paar denselben Graphen. Wenn Sie die beiden x-Werte weiter auseinanderlegen, lässt sich die Gerade genauer zeichnen.

Wie man eine lineare Gleichung aus der Standardform grafisch darstellt

Die Standardform schreibt eine lineare Gleichung als Ax + By = C. Wandeln Sie sie in die Steigungsform um, indem Sie nach y auflösen, und stellen Sie dann mit Steigung und Achsenabschnitt grafisch dar. Für 2x + y = 1 subtrahieren Sie 2x auf beiden Seiten, um y = -2x + 1 zu erhalten, was eine Steigung von -2 und einen y-Achsenabschnitt von 1 hat.

Die Abschnittsmethode stellt die Standardform ohne Umrechnung grafisch dar. Setzen Sie x auf 0 und lösen Sie nach y auf, um den y-Achsenabschnitt zu finden, dann setzen Sie y auf 0 und lösen Sie nach x auf, um den x-Achsenabschnitt zu finden. Für 2x + 3y = 6 ist der y-Achsenabschnitt (0, 2) und der x-Achsenabschnitt (3, 0), und die Gerade verläuft durch beide. Das Lösen linearer Systeme aus mehreren solcher Gleichungen ist der Punkt, an dem ein Matrixrechner die Arbeit eines einzelnen Graphen übernimmt.

Sonderfälle: horizontale und vertikale Geraden

Zwei lineare Gleichungen ergeben als Graph besondere Geraden. Eine Gleichung der Form y = b, wie y = 3, ergibt eine horizontale Gerade, die die y-Achse bei 3 schneidet, weil die Steigung 0 ist und y sich nie ändert. Eine Gleichung der Form x = a, wie x = -2, ergibt eine vertikale Gerade, die die x-Achse bei -2 schneidet.

Eine vertikale Gerade ist der einzige lineare Graph, den die Steigungsform nicht ausdrücken kann, weil ihre Steigung undefiniert ist. Diese beiden Formen zu erkennen verhindert den häufigen Fehler, x = a in y = mx + b zu zwingen.

Häufige Fehler beim grafischen Darstellen einer linearen Gleichung

Drei häufige Fehler treten beim grafischen Darstellen einer linearen Gleichung auf:

1. Anstieg und Laufweite vertauschen, indem man sich um den Anstieg nach rechts und um die Laufweite nach oben bewegt, was die Steigung umkehrt.
2. Den y-Achsenabschnitt auf der x-Achse statt auf der y-Achse eintragen.
3. Ein negatives Vorzeichen bei der Steigung weglassen, wodurch die Gerade in die falsche Richtung verläuft.

Zwei weitere Fehler verzerren den Graphen. Die Steigung nur als Zähler zu lesen und zu vergessen, dass die Laufweite 1 ist, verschiebt den zweiten Punkt bei ganzzahligen Steigungen. Die Gerade durch einen einzelnen Punkt ohne zweite Referenz zu zeichnen, ergibt den falschen Winkel. Geben Sie die Gleichung in den Grafikrechner ein, um Steigung, Achsenabschnitt und Richtung jeder Geraden zu überprüfen.

Häufig gestellte Fragen

Wie stellt man eine lineare Gleichung in Steigungsform grafisch dar?

Tragen Sie den y-Achsenabschnitt b auf der y-Achse ein, dann verwenden Sie die Steigung m als Anstieg über Laufweite, um zu einem zweiten Punkt zu gelangen. Zeichnen Sie eine Gerade durch beide Punkte. Für y = 2x + 1 tragen Sie (0, 1) ein, steigen 2 und laufen 1, um (1, 3) zu erreichen, und verbinden Sie sie dann.

Was ist die Steigung in y = mx + b?

Die Steigung m ist die Rate, mit der die Gerade steigt oder fällt, ausgedrückt als Anstieg über Laufweite. Eine Steigung von 2 bedeutet, dass die Gerade 2 Einheiten für jede 1 Einheit nach rechts steigt. Eine positive Steigung steigt von links nach rechts, und eine negative Steigung fällt von links nach rechts.

Wie findet man den y-Achsenabschnitt einer linearen Gleichung?

Der y-Achsenabschnitt ist der Wert von y, wenn x gleich 0 ist, und in y = mx + b ist er die Konstante b. Im Graphen ist er der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Für y = 2x + 1 ist der y-Achsenabschnitt 1, am Punkt (0, 1).

Wie stellt man eine lineare Gleichung aus der Standardform grafisch dar?

Wandeln Sie die Standardform Ax + By = C in die Steigungsform um, indem Sie nach y auflösen, und stellen Sie dann mit Steigung und Achsenabschnitt grafisch dar. Sie können auch die beiden Achsenabschnitte direkt finden: setzen Sie x auf 0 für den y-Achsenabschnitt und y auf 0 für den x-Achsenabschnitt, und zeichnen Sie dann die Gerade durch beide Punkte.

Wie stellt man eine lineare Gleichung mit zwei Punkten grafisch dar?

Wählen Sie zwei x-Werte, berechnen Sie die zugehörigen y-Werte aus der Gleichung, tragen Sie beide Punkte ein und zeichnen Sie eine Gerade durch sie. Zwei Punkte bestimmen eine Gerade, also liefert jedes korrekte Punktpaar den vollständigen Graphen einer linearen Gleichung.