Comment tracer une parabole étape par étape

Comment tracer une parabole

Pour tracer une parabole, trouvez le sommet, dessinez l’axe de symétrie, placez l’intersection avec l’axe des y, trouvez les intersections avec l’axe des x et reliez les points par une courbe régulière en forme de U. Une parabole est la courbe d’une équation du second degré y = ax² + bx + c, et son sommet se situe à x = −b ÷ 2a. Pour y = x² − 4x + 3, le sommet est (2, −1) et la courbe coupe l’axe des x en 1 et 3.

La forme de chaque parabole vient du terme au carré, qui fait remonter la courbe des deux côtés d’un unique point de changement de direction. La calculatrice graphique trace une parabole dès que son équation est saisie. Ce guide montre comment trouver les points principaux à la main afin de dessiner et de comprendre la courbe sans cet outil.

Les éléments d’une parabole

Une parabole possède 4 éléments principaux qui déterminent sa position et sa forme :

1. Le sommet, point où la courbe change de direction et atteint sa valeur la plus basse ou la plus haute.
2. L’axe de symétrie, droite verticale passant par le sommet et séparant deux moitiés symétriques.
3. L’intersection avec l’axe des y, point où la courbe coupe cet axe, égale à la constante c.
4. Les intersections avec l’axe des x, points où la courbe coupe cet axe, obtenus en résolvant l’équation du second degré.

Ces éléments dépendent des trois coefficients a, b et c. Le coefficient a fixe le sens d’ouverture et la largeur, b déplace le sommet vers la gauche ou la droite et c indique l’intersection avec l’axe des y. Lire d’abord les coefficients permet de prévoir l’allure de la parabole avant de placer le moindre point.

Étape 1 : déterminer le sens et la largeur

Le coefficient a détermine le sens d’ouverture et la largeur d’une parabole. Si a est positif, la parabole s’ouvre vers le haut en formant un U dont le sommet est le point le plus bas. Si a est négatif, elle s’ouvre vers le bas en formant un U renversé dont le sommet est le point le plus haut. Dans y = x² − 4x + 3, le coefficient a vaut 1. La parabole s’ouvre donc vers le haut.

La valeur de a contrôle la largeur. Une grande valeur absolue, comme a = 4, produit une parabole étroite, tandis qu’une petite valeur, comme a = 0.25, en produit une large. Examiner a en premier permet d’anticiper l’ensemble de la courbe : une parabole ouverte vers le haut dont le sommet se trouve sous l’axe des x doit couper cet axe deux fois.

Étape 2 : trouver le sommet et l’axe de symétrie

L’abscisse du sommet est x = −b ÷ 2a. En la remplaçant dans l’équation, on obtient l’ordonnée. Pour y = x² − 4x + 3, le coefficient b vaut −4. Ainsi, x = −(−4) ÷ (2 × 1) = 4 ÷ 2 = 2. En remplaçant x par 2, on obtient y = 4 − 8 + 3 = −1. Le sommet est donc (2, −1).

L’axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet, soit x = 2 pour cette parabole. À chaque point situé d’un côté de cette droite correspond un point symétrique de même hauteur de l’autre côté. Grâce à cette symétrie, dès que le sommet et un autre point sont connus, un second point s’obtient par réflexion par rapport à l’axe.

Étape 3 : trouver les intersections avec les axes

L’intersection avec l’axe des y est la constante c, car poser x = 0 donne y = c. Pour y = x² − 4x + 3, cette intersection vaut 3 et se trouve au point (0, 3). C’est le point le plus rapide à placer puisqu’il se lit directement dans l’équation.

Les intersections avec l’axe des x s’obtiennent en posant y = 0 et en résolvant ax² + bx + c = 0. La factorisation de x² − 4x + 3 donne (x − 1)(x − 3) = 0. Les intersections se trouvent donc en x = 1 et x = 3. Une équation du second degré sans solution réelle correspond à une parabole qui ne coupe jamais l’axe des x. Avec une seule solution double, la parabole touche l’axe en un point.

Exemple résolu : tracer y = x² − 4x + 3

Regroupez les étapes pour tracer y = x² − 4x + 3.

1. Sens : a = 1 est positif, la parabole s’ouvre donc vers le haut.
2. Sommet : x = 4 ÷ 2 = 2 et y = −1, donc le sommet est (2, −1).
3. Axe de symétrie : la droite x = 2.
4. Intersection avec l’axe des y : c = 3, au point (0, 3).
5. Intersections avec l’axe des x : (x − 1)(x − 3) = 0, donc x = 1 et x = 3.

Placez le sommet (2, −1), l’intersection avec l’axe des y (0, 3) et les racines (1, 0) et (3, 0). Reportez l’intersection avec l’axe des y de l’autre côté de l’axe de symétrie pour obtenir le point correspondant (4, 3). Tracez une courbe régulière passant par les points pour achever la parabole. Le simulateur de calculatrice graphique trace la même courbe et indique le sommet et les racines lorsque l’équation est saisie.

Tracé à partir de la forme canonique

La forme canonique écrit une parabole sous la forme y = a(x − h)² + k, où (h, k) est le sommet. Elle permet de lire directement le sommet, sans calcul. L’équation y = (x − 2)² − 1 est la forme canonique de y = x² − 4x + 3. Le sommet (2, −1) se lit donc directement dans les valeurs h et k.

Le passage de la forme développée à la forme canonique nécessite une mise sous forme de carré, mais pour tracer la courbe, la forme canonique évite entièrement l’étape de calcul du sommet. Placez le sommet à partir de h et k, utilisez a pour déterminer le sens et la largeur, puis trouvez un autre point pour fixer la courbe. Le guide associé sur la manière de tracer une équation linéaire présente le cas de la droite sur lequel repose la forme canonique.

Questions fréquentes

Comment tracer une parabole étape par étape ?

Trouvez le sommet, tracez l’axe de symétrie, placez l’intersection avec l’axe des y, trouvez les intersections avec l’axe des x si elles existent, puis dessinez une courbe régulière en forme de U passant par les points. Pour y = ax² + bx + c, l’abscisse du sommet est −b divisé par 2a. Placez le sommet, utilisez l’axe de symétrie pour reporter les points et reliez-les pour former une parabole.

Comment trouver le sommet d’une parabole ?

Calculez l’abscisse du sommet avec la formule x égal à −b divisé par 2a, puis remplacez x par cette valeur dans l’équation pour obtenir l’ordonnée. Pour y = x² − 4x + 3, x est égal à 4 divisé par 2, soit 2, et y est égal à 4 moins 8 plus 3, soit −1. Le sommet est donc (2, −1). Il s’agit du point le plus bas ou le plus haut de la parabole.

Dans quel sens une parabole s’ouvre-t-elle ?

Une parabole s’ouvre vers le haut lorsque le coefficient a est positif et vers le bas lorsqu’il est négatif. Dans y = ax² + bx + c, le signe de a détermine à lui seul le sens d’ouverture. Une valeur positive de a donne une forme en U dont le sommet est le point le plus bas, tandis qu’une valeur négative donne un U renversé dont le sommet est le point le plus haut.

Comment trouver les intersections d’une parabole avec l’axe des x ?

Posez y = 0 et résolvez l’équation du second degré ax² + bx + c = 0 par factorisation ou à l’aide de la formule quadratique. Les solutions sont les intersections avec l’axe des x, là où la parabole coupe cet axe. Pour y = x² − 4x + 3, la factorisation donne (x − 1)(x − 3) = 0. Les intersections avec l’axe des x se trouvent donc en x = 1 et x = 3. Une parabole peut avoir deux, une ou aucune intersection avec cet axe.

Qu’est-ce que l’axe de symétrie d’une parabole ?

L’axe de symétrie est la droite verticale qui partage la parabole en deux moitiés symétriques et passe par le sommet. Son équation est x égal à −b divisé par 2a, soit la même valeur que l’abscisse du sommet. Pour y = x² − 4x + 3, l’axe de symétrie est la droite x = 2. Les points situés à égale distance de part et d’autre ont donc la même valeur de y.