Как построить параболу: пошаговое руководство

Как построить параболу

Чтобы построить параболу, найдите вершину, проведите ось симметрии, отметьте точку пересечения с осью y, найдите точки пересечения с осью x и соедините точки плавной U-образной кривой. Парабола — это график квадратного уравнения y = ax² + bx + c, а её вершина расположена при x = −b ÷ 2a. Для y = x² − 4x + 3 вершина находится в точке (2, −1), а кривая пересекает ось x в точках 1 и 3.

Форма любой параболы определяется членом в квадрате, из-за которого кривая поднимается по обе стороны от единственной точки поворота. Graphing Calculator строит параболу сразу после ввода её уравнения, а это руководство показывает, как вручную найти ключевые точки, чтобы построить и понять график без инструмента.

Элементы параболы

Парабола имеет 4 ключевых элемента, определяющих её положение и форму:

1. Вершина — точка поворота, в которой кривая меняет направление, то есть её самая низкая или самая высокая точка.
2. Ось симметрии — вертикальная прямая через вершину, относительно которой две половины зеркально отражаются.
3. Точка пересечения с осью y, в которой кривая пересекает ось y и значение которой равно свободному члену c.
4. Точки пересечения с осью x, в которых кривая пересекает ось x и которые находятся при решении квадратного уравнения.

Эти элементы определяются тремя коэффициентами a, b и c. Коэффициент a задаёт направление и ширину, b сдвигает вершину влево или вправо, а c отмечает точку пересечения с осью y. Если сначала рассмотреть коэффициенты, можно понять, как выглядит парабола, ещё до нанесения любой точки.

Шаг 1: определите направление и ширину

Коэффициент a определяет, в какую сторону направлены ветви параболы и насколько она широка. При положительном a ветви направлены вверх, образуя U-образную кривую с самой низкой точкой, а при отрицательном a — вниз, образуя перевёрнутую U-образную кривую с самой высокой точкой. В y = x² − 4x + 3 коэффициент a равен 1, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Модуль a определяет ширину. Большое абсолютное значение, например a = 4, даёт узкую параболу, а малое значение, например a = 0.25, — широкую. Если сначала рассмотреть a, можно заранее представить весь график: парабола с направленными вверх ветвями и вершиной ниже оси x должна пересекать эту ось дважды.

Шаг 2: найдите вершину и ось симметрии

Координата x вершины равна x = −b ÷ 2a, а её подстановка обратно в уравнение даёт координату y. Для y = x² − 4x + 3 коэффициент b равен −4, поэтому x = −(−4) ÷ (2 × 1) = 4 ÷ 2 = 2. Подстановка x = 2 даёт y = 4 − 8 + 3 = −1, поэтому вершина находится в точке (2, −1).

Ось симметрии — вертикальная прямая, проходящая через вершину; для этой параболы она записывается как x = 2. Каждой точке с одной стороны этой прямой соответствует зеркальная точка на той же высоте с другой стороны. Благодаря такой симметрии после нахождения вершины и ещё одной точки вторую точку можно получить простым отражением относительно оси.

Шаг 3: найдите точки пересечения

Точка пересечения с осью y определяется свободным членом c, потому что при x = 0 остаётся y = c. Для y = x² − 4x + 3 значение точки пересечения с осью y равно 3, и она находится в точке (0, 3). Её проще всего нанести на график, поскольку она считывается прямо из уравнения.

Точки пересечения с осью x находятся при y = 0 и решении ax² + bx + c = 0. Разложение x² − 4x + 3 на множители даёт (x − 1)(x − 3) = 0, поэтому точки пересечения с осью x соответствуют x = 1 и x = 3. Если квадратное уравнение не имеет действительных решений, парабола не пересекает ось x, а при единственном повторяющемся решении она касается оси в одной точке.

Разобранный пример: постройте y = x² − 4x + 3

Объединим все шаги, чтобы построить y = x² − 4x + 3.

1. Направление: a = 1 положительно, поэтому ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина: x = 4 ÷ 2 = 2 и y = −1, поэтому вершина находится в точке (2, −1).
3. Ось симметрии: прямая x = 2.
4. Точка пересечения с осью y: c = 3, в точке (0, 3).
5. Точки пересечения с осью x: (x − 1)(x − 3) = 0, поэтому x = 1 и x = 3.

Отметьте вершину (2, −1), точку пересечения с осью y (0, 3) и корни (1, 0) и (3, 0). Отразите точку пересечения с осью y относительно оси симметрии, чтобы получить соответствующую точку (4, 3). Проведите через точки плавную кривую, чтобы завершить параболу. Симулятор графического калькулятора строит ту же кривую и отмечает вершину и корни после ввода уравнения.

Построение по вершинной форме

В вершинной форме парабола записывается как y = a(x − h)² + k, где (h, k) — вершина. Эта форма показывает вершину непосредственно, без вычислений. Уравнение y = (x − 2)² − 1 представляет собой вершинную форму y = x² − 4x + 3, поэтому вершина (2, −1) считывается прямо из значений h и k.

Для преобразования стандартной формы в вершинную используется выделение полного квадрата, но при построении графика вершинная форма полностью исключает этап поиска вершины. Отметьте вершину по h и k, используйте a, чтобы задать направление и ширину, а затем найдите ещё одну точку, чтобы определить кривую. В связанном руководстве о том, как построить график линейного уравнения, рассмотрен случай прямой линии, на котором основывается вершинная форма.

Часто задаваемые вопросы

Как построить параболу пошагово?

Найдите вершину, проведите ось симметрии, отметьте точку пересечения с осью y, найдите точки пересечения с осью x, если они существуют, а затем проведите через точки плавную U-образную кривую. Для y = ax² + bx + c значение x вершины равно −b, делённому на 2a. Отметьте вершину, отразите точки относительно оси симметрии и соедините их в параболу.

Как найти вершину параболы?

Найдите координату x вершины по формуле x равно −b, делённому на 2a, а затем подставьте это значение x обратно в уравнение, чтобы получить координату y. Для y = x² − 4x + 3 значение x равно 4, делённому на 2, то есть 2, а y равно 4 минус 8 плюс 3, то есть −1, поэтому вершина находится в точке (2, −1). Вершина — самая низкая или самая высокая точка параболы.

В какую сторону направлены ветви параболы?

Ветви параболы направлены вверх, когда коэффициент a положительный, и вниз, когда a отрицательный. В y = ax² + bx + c направление определяет только знак a. При положительном a получается U-образная кривая с самой низкой точкой в вершине, а при отрицательном a — перевёрнутая U-образная кривая с самой высокой точкой в вершине.

Как найти точки пересечения параболы с осью x?

Приравняйте y к 0 и решите квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 с помощью разложения на множители или формулы корней квадратного уравнения. Решения являются точками пересечения с осью x, в которых парабола пересекает эту ось. Для y = x² − 4x + 3 разложение на множители даёт (x − 1)(x − 3) = 0, поэтому точки пересечения с осью x соответствуют x = 1 и x = 3. Парабола может иметь две, одну или ни одной точки пересечения с осью x.

Что такое ось симметрии параболы?

Ось симметрии — это вертикальная прямая, которая делит параболу на две зеркальные половины и проходит через вершину. Её уравнение имеет вид x равно −b, делённому на 2a, то есть это то же значение, что и координата x вершины. Для y = x² − 4x + 3 ось симметрии — прямая x = 2, поэтому точки, равноудалённые от неё слева и справа, имеют одинаковое значение y.