Cómo representar una parábola paso a paso

Cómo representar una parábola

Para representar una parábola, halla el vértice, traza el eje de simetría, marca el corte con el eje y, calcula los cortes con el eje x y une los puntos con una curva suave en forma de U. Una parábola es la gráfica de una ecuación cuadrática y = ax² + bx + c, y su vértice se encuentra en x = −b ÷ 2a. Para y = x² − 4x + 3, el vértice es (2, −1) y la curva cruza el eje x en 1 y 3.

La forma de cualquier parábola procede del término al cuadrado, que hace que la curva ascienda a ambos lados de un único punto de giro. La calculadora gráfica dibuja una parábola en cuanto se introduce su ecuación. Esta guía permite hallar a mano los puntos principales para dibujar y entender la gráfica sin esa herramienta.

Partes de una parábola

Una parábola tiene 4 elementos principales que determinan su posición y su forma:

1. Vértice, el punto de giro donde la curva cambia de dirección y alcanza su punto más bajo o más alto.
2. Eje de simetría, la recta vertical que pasa por el vértice y refleja las dos mitades.
3. Corte con el eje y, donde la curva cruza dicho eje, igual a la constante c.
4. Cortes con el eje x, donde la curva cruza dicho eje, que se obtienen al resolver la ecuación cuadrática.

Estos elementos dependen de los tres coeficientes a, b y c. El coeficiente a determina la dirección y la anchura, b desplaza el vértice hacia la izquierda o la derecha y c marca el corte con el eje y. Leer primero los coeficientes permite anticipar el aspecto de la parábola antes de situar ningún punto.

Paso 1: determinar la dirección y la anchura

El coeficiente a determina hacia dónde se abre una parábola y cuál es su anchura. Si a es positivo, la parábola se abre hacia arriba con forma de U y tiene un punto mínimo. Si a es negativo, se abre hacia abajo con forma de U invertida y tiene un punto máximo. En y = x² − 4x + 3, el coeficiente a es 1, así que la parábola se abre hacia arriba.

El valor de a controla la anchura. Un valor absoluto grande, como a = 4, produce una parábola estrecha, mientras que un valor pequeño, como a = 0.25, produce una ancha. Examinar primero a ayuda a prever toda la gráfica: una parábola que se abre hacia arriba y tiene el vértice bajo el eje x debe cruzar ese eje dos veces.

Paso 2: hallar el vértice y el eje de simetría

La coordenada x del vértice es x = −b ÷ 2a. Al sustituirla en la ecuación se obtiene la coordenada y. Para y = x² − 4x + 3, el coeficiente b es −4, por lo que x = −(−4) ÷ (2 × 1) = 4 ÷ 2 = 2. Al sustituir x = 2 se obtiene y = 4 − 8 + 3 = −1, así que el vértice es (2, −1).

El eje de simetría es la recta vertical que pasa por el vértice, escrita como x = 2 en esta parábola. Cada punto situado a un lado de la recta tiene un punto reflejado a la misma altura en el otro lado. Gracias a esta simetría, cuando se conocen el vértice y otro punto, se obtiene un segundo punto al reflejarlo respecto al eje.

Paso 3: hallar los cortes con los ejes

El corte con el eje y es la constante c, porque al fijar x en 0 queda y = c. Para y = x² − 4x + 3, el corte con el eje y es 3, en el punto (0, 3). Es el punto más rápido de situar, pues se lee directamente en la ecuación.

Los cortes con el eje x se obtienen igualando y a 0 y resolviendo ax² + bx + c = 0. Al factorizar x² − 4x + 3 se obtiene (x − 1)(x − 3) = 0, por lo que los cortes con el eje x son x = 1 y x = 3. Si una ecuación cuadrática no tiene soluciones reales, su parábola nunca cruza el eje x. Si tiene una única solución repetida, toca el eje en un punto.

Ejemplo resuelto: representar y = x² − 4x + 3

Reúne los pasos para representar y = x² − 4x + 3.

1. Dirección: a = 1 es positivo, así que la parábola se abre hacia arriba.
2. Vértice: x = 4 ÷ 2 = 2 e y = −1, por lo que el vértice es (2, −1).
3. Eje de simetría: la recta x = 2.
4. Corte con el eje y: c = 3, en (0, 3).
5. Cortes con el eje x: (x − 1)(x − 3) = 0, por lo que x = 1 y x = 3.

Sitúa el vértice (2, −1), el corte con el eje y (0, 3) y las raíces (1, 0) y (3, 0). Refleja el corte con el eje y respecto al eje de simetría para obtener el punto correspondiente (4, 3). Dibuja una curva suave que pase por los puntos para completar la parábola. El simulador de calculadora gráfica traza la misma curva y señala el vértice y las raíces al introducir la ecuación.

Representación desde la forma de vértice

La forma de vértice expresa una parábola como y = a(x − h)² + k, donde (h, k) es el vértice. Esta forma muestra el vértice directamente, sin hacer cálculos. La ecuación y = (x − 2)² − 1 es la forma de vértice de y = x² − 4x + 3, por lo que el vértice (2, −1) se lee directamente en los valores h y k.

Para pasar de la forma general a la forma de vértice se completa el cuadrado, pero al representar una gráfica esta forma evita por completo el cálculo del vértice. Sitúa el vértice a partir de h y k, usa a para fijar la dirección y la anchura y halla después otro punto para definir la curva. La guía relacionada sobre cómo representar una ecuación lineal explica el caso de la recta en el que se apoya la forma de vértice.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se representa una parábola paso a paso?

Halla el vértice, traza el eje de simetría, marca el corte con el eje y, calcula los cortes con el eje x si existen y dibuja una curva suave en forma de U que pase por los puntos. Para y = ax² + bx + c, el valor de x del vértice es −b dividido entre 2a. Sitúa el vértice, usa el eje de simetría para reflejar los puntos y únelos en una parábola.

¿Cómo se halla el vértice de una parábola?

Calcula la coordenada x del vértice con la fórmula x igual a −b dividido entre 2a y sustituye después ese valor de x en la ecuación para obtener la coordenada y. Para y = x² − 4x + 3, x es igual a 4 dividido entre 2, que es 2, e y es igual a 4 menos 8 más 3, que es −1; por tanto, el vértice es (2, −1). El vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola.

¿Hacia dónde se abre una parábola?

Una parábola se abre hacia arriba cuando el coeficiente a es positivo y hacia abajo cuando es negativo. En y = ax² + bx + c, solo el signo de a determina la dirección. Un valor positivo de a produce una forma de U con el vértice como punto más bajo, mientras que uno negativo produce una U invertida con el vértice como punto más alto.

¿Cómo se hallan los cortes de una parábola con el eje x?

Iguala y a 0 y resuelve la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 mediante factorización o con la fórmula cuadrática. Las soluciones son los cortes con el eje x, donde la parábola cruza dicho eje. Para y = x² − 4x + 3, la factorización da (x − 1)(x − 3) = 0, por lo que los cortes con el eje x están en x = 1 y x = 3. Una parábola puede tener dos, uno o ningún corte con el eje x.

¿Qué es el eje de simetría de una parábola?

El eje de simetría es la recta vertical que divide la parábola en dos mitades reflejadas y pasa por el vértice. Su ecuación es x igual a −b dividido entre 2a, el mismo valor que la coordenada x del vértice. Para y = x² − 4x + 3, el eje de simetría es la recta x = 2, de modo que los puntos situados a la misma distancia a izquierda y derecha tienen el mismo valor de y.