Cara Melukis Graf Parabola: Langkah demi Langkah

Cara Melukis Graf Parabola

Lukis graf parabola dengan mencari puncak, melukis paksi simetri, menandakan pintasan-y, mencari pintasan-x dan menyambungkan titik-titik tersebut menjadi lengkung berbentuk U yang licin. Parabola ialah graf persamaan kuadratik y = ax² + bx + c, dan puncaknya terletak pada x = −b ÷ 2a. Untuk y = x² − 4x + 3, puncaknya ialah (2, −1), dan lengkung melintasi paksi-x pada 1 dan 3.

Bentuk setiap parabola terhasil daripada sebutan kuasa dua, yang menyebabkan lengkung menaik pada kedua-dua sisi satu titik perubahan. Kalkulator graf memplot parabola sebaik sahaja persamaannya ditaip, manakala panduan ini mencari titik-titik utama secara manual supaya graf dapat dilukis dan difahami tanpa alat tersebut.

Bahagian-bahagian Parabola

Parabola mempunyai 4 ciri utama yang menentukan kedudukan dan bentuknya:

1. Puncak, iaitu titik perubahan tempat lengkung bertukar arah, sama ada titik terendah atau tertinggi.
2. Paksi simetri, iaitu garis menegak melalui puncak yang mencerminkan kedua-dua bahagian.
3. Pintasan-y, iaitu tempat lengkung melintasi paksi-y, bersamaan dengan pemalar c.
4. Pintasan-x, iaitu tempat lengkung melintasi paksi-x, yang dicari dengan menyelesaikan persamaan kuadratik.

Ciri-ciri ini terhasil daripada tiga pekali a, b dan c. Pekali a menentukan arah dan lebar, b mengalihkan puncak ke kiri atau kanan, dan c menandakan pintasan-y. Membaca pekali terlebih dahulu menunjukkan rupa parabola sebelum sebarang titik diplot.

Langkah 1: Cari Arah dan Lebar

Pekali a menentukan arah parabola terbuka dan lebarnya. Nilai a yang positif membuka parabola ke atas dalam bentuk U dengan titik terendah, manakala nilai a yang negatif membukanya ke bawah dalam bentuk U terbalik dengan titik tertinggi. Dalam y = x² − 4x + 3, pekali a ialah 1, maka parabola terbuka ke atas.

Saiz a mengawal lebar. Nilai mutlak yang besar, seperti a = 4, menghasilkan parabola yang sempit, manakala nilai yang kecil, seperti a = 0.25, menghasilkan parabola yang lebar. Membaca a terlebih dahulu menetapkan jangkaan bagi seluruh graf, maka hasil yang terbuka ke atas dengan puncak di bawah paksi-x mesti melintasi paksi itu dua kali.

Langkah 2: Cari Puncak dan Paksi Simetri

Koordinat x bagi puncak ialah x = −b ÷ 2a, dan menggantikannya kembali ke dalam persamaan memberikan koordinat y. Untuk y = x² − 4x + 3, pekali b ialah −4, maka x = −(−4) ÷ (2 × 1) = 4 ÷ 2 = 2. Menggantikan x = 2 memberikan y = 4 − 8 + 3 = −1, maka puncaknya ialah (2, −1).

Paksi simetri ialah garis menegak melalui puncak, yang ditulis sebagai x = 2 untuk parabola ini. Setiap titik pada satu sisi garis ini mempunyai titik imej cermin pada ketinggian yang sama di sisi sebelahnya. Simetri ini bermakna apabila puncak dan satu lagi titik diketahui, titik kedua diperoleh terus dengan mencerminkannya merentasi paksi.

Langkah 3: Cari Pintasan

Pintasan-y ialah pemalar c kerana menetapkan x kepada 0 meninggalkan y = c. Untuk y = x² − 4x + 3, pintasan-y ialah 3, pada titik (0, 3). Titik ini paling cepat diplot kerana nilainya dibaca terus daripada persamaan.

Pintasan-x diperoleh dengan menetapkan y kepada 0 dan menyelesaikan ax² + bx + c = 0. Pemfaktoran x² − 4x + 3 memberikan (x − 1)(x − 3) = 0, maka pintasan-x ialah x = 1 dan x = 3. Persamaan kuadratik tanpa penyelesaian nyata menghasilkan parabola yang tidak pernah melintasi paksi-x, manakala satu penyelesaian berulang menyentuh paksi pada satu titik.

Contoh Kerja: Lukis Graf y = x² − 4x + 3

Gabungkan langkah-langkah tersebut untuk melukis graf y = x² − 4x + 3.

1. Arah: a = 1 adalah positif, maka parabola terbuka ke atas.
2. Puncak: x = 4 ÷ 2 = 2 dan y = −1, maka puncaknya ialah (2, −1).
3. Paksi simetri: garis x = 2.
4. Pintasan-y: c = 3, pada (0, 3).
5. Pintasan-x: (x − 1)(x − 3) = 0, maka x = 1 dan x = 3.

Plot puncak (2, −1), pintasan-y (0, 3), dan punca (1, 0) serta (3, 0). Cerminkan pintasan-y merentasi paksi simetri untuk mendapatkan titik sepadan pada (4, 3). Lukis lengkung yang licin melalui titik-titik tersebut untuk melengkapkan parabola. Simulator kalkulator graf memplot lengkung yang sama serta menandakan puncak dan punca apabila persamaan dimasukkan.

Melukis Graf Daripada Bentuk Puncak

Bentuk puncak menulis parabola sebagai y = a(x − h)² + k, dengan (h, k) ialah puncaknya. Bentuk ini menunjukkan puncak secara langsung tanpa pengiraan. Persamaan y = (x − 2)² − 1 ialah bentuk puncak bagi y = x² − 4x + 3, maka puncak (2, −1) dibaca terus daripada nilai h dan k.

Penukaran bentuk piawai kepada bentuk puncak menggunakan kaedah melengkapkan kuasa dua, tetapi untuk melukis graf, bentuk puncak menghapuskan terus langkah mencari puncak. Plot puncak daripada h dan k, gunakan a untuk menentukan arah dan lebar, kemudian cari satu lagi titik untuk menetapkan lengkung. Panduan berkaitan tentang cara melukis graf persamaan linear menerangkan kes garis lurus yang menjadi asas kepada bentuk puncak.

Soalan Lazim

Bagaimanakah cara melukis graf parabola langkah demi langkah?

Cari puncak, lukis paksi simetri, tandakan pintasan-y, cari pintasan-x jika wujud, kemudian lukis lengkung berbentuk U yang licin melalui titik-titik tersebut. Untuk y = ax² + bx + c, nilai x bagi puncak ialah −b ÷ 2a. Plot puncak, gunakan paksi simetri untuk mencerminkan titik, dan sambungkannya menjadi parabola.

Bagaimanakah cara mencari puncak parabola?

Cari koordinat x bagi puncak dengan rumus x = −b ÷ 2a, kemudian gantikan x itu kembali ke dalam persamaan untuk mendapatkan koordinat y. Untuk y = x² − 4x + 3, x = 4 ÷ 2 = 2 dan y = 4 − 8 + 3 = −1, maka puncaknya ialah (2, −1). Puncak ialah titik terendah atau tertinggi parabola.

Ke arah manakah parabola terbuka?

Parabola terbuka ke atas apabila pekali a positif dan ke bawah apabila a negatif. Dalam y = ax² + bx + c, tanda a sahaja menentukan arah. Nilai a yang positif menghasilkan bentuk U dengan titik terendah pada puncak, manakala nilai a yang negatif menghasilkan bentuk U terbalik dengan titik tertinggi pada puncak.

Bagaimanakah cara mencari pintasan-x parabola?

Tetapkan y kepada 0 dan selesaikan persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0 melalui pemfaktoran atau rumus kuadratik. Penyelesaiannya ialah pintasan-x, iaitu tempat parabola melintasi paksi-x. Untuk y = x² − 4x + 3, pemfaktoran memberikan (x − 1)(x − 3) = 0, maka pintasan-x berada pada x = 1 dan x = 3. Parabola boleh mempunyai dua, satu atau tiada pintasan-x.

Apakah paksi simetri parabola?

Paksi simetri ialah garis menegak yang membahagikan parabola kepada dua bahagian imej cermin dan melalui puncak. Persamaannya ialah x = −b ÷ 2a, sama dengan nilai koordinat x bagi puncak. Untuk y = x² − 4x + 3, paksi simetri ialah garis x = 2, maka titik yang sama jaraknya di sebelah kiri dan kanan garis itu mempunyai nilai y yang sama.