Jak narysować parabolę: krok po kroku

Jak narysować parabolę

Aby narysować parabolę, wyznacz wierzchołek, narysuj oś symetrii, zaznacz punkt przecięcia z osią y, znajdź punkty przecięcia z osią x i połącz punkty gładką krzywą w kształcie litery U. Parabola jest wykresem równania kwadratowego y = ax² + bx + c, a jej wierzchołek leży przy x = −b ÷ 2a. Dla y = x² − 4x + 3 wierzchołek to (2, −1), a krzywa przecina oś x w punktach 1 i 3.

Kształt każdej paraboli wynika z wyrazu podniesionego do kwadratu, który sprawia, że krzywa wznosi się po obu stronach jednego punktu zwrotnego. Graphing Calculator rysuje parabolę natychmiast po wpisaniu jej równania, a ten poradnik pokazuje, jak ręcznie znaleźć kluczowe punkty, aby narysować i zrozumieć wykres bez użycia narzędzia.

Elementy paraboli

Parabola ma 4 kluczowe elementy, które określają jej położenie i kształt:

1. Wierzchołek, czyli punkt zwrotny, w którym krzywa zmienia kierunek, będący jej najniższym lub najwyższym punktem.
2. Oś symetrii, czyli pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek, względem której obie połowy są lustrzanym odbiciem.
3. Punkt przecięcia z osią y, w którym krzywa przecina oś y, równy wyrazowi wolnemu c.
4. Punkty przecięcia z osią x, w których krzywa przecina oś x, znajdowane przez rozwiązanie równania kwadratowego.

Elementy te wynikają z trzech współczynników a, b i c. Współczynnik a określa kierunek i szerokość, b przesuwa wierzchołek w lewo lub w prawo, a c wyznacza punkt przecięcia z osią y. Odczytanie najpierw współczynników pozwala przewidzieć wygląd paraboli jeszcze przed zaznaczeniem jakiegokolwiek punktu.

Krok 1: określ kierunek i szerokość

Współczynnik a określa, w którą stronę są skierowane ramiona paraboli i jak jest ona szeroka. Dodatnie a kieruje ramiona paraboli w górę, tworząc kształt litery U z najniższym punktem, a ujemne a kieruje je w dół, tworząc odwróconą literę U z najwyższym punktem. W y = x² − 4x + 3 współczynnik a wynosi 1, więc ramiona paraboli są skierowane w górę.

Wartość bezwzględna a decyduje o szerokości. Duża wartość bezwzględna, na przykład a = 4, daje wąską parabolę, natomiast mała wartość, na przykład a = 0.25, daje szeroką parabolę. Odczytanie a na początku pozwala przewidzieć cały wykres, dlatego parabola skierowana w górę, której wierzchołek leży poniżej osi x, musi przeciąć tę oś dwukrotnie.

Krok 2: znajdź wierzchołek i oś symetrii

Współrzędna x wierzchołka to x = −b ÷ 2a, a podstawienie jej z powrotem do równania daje współrzędną y. Dla y = x² − 4x + 3 współczynnik b wynosi −4, więc x = −(−4) ÷ (2 × 1) = 4 ÷ 2 = 2. Po podstawieniu x = 2 otrzymujemy y = 4 − 8 + 3 = −1, zatem wierzchołek to (2, −1).

Oś symetrii jest pionową prostą przechodzącą przez wierzchołek, zapisaną dla tej paraboli jako x = 2. Każdy punkt po jednej stronie tej prostej ma lustrzany odpowiednik na tej samej wysokości po drugiej stronie. Dzięki tej symetrii, gdy znany jest wierzchołek i jeszcze jeden punkt, drugi punkt otrzymujemy bez dodatkowych obliczeń przez odbicie względem osi.

Krok 3: znajdź punkty przecięcia

Punkt przecięcia z osią y jest równy wyrazowi wolnemu c, ponieważ po przyjęciu x = 0 pozostaje y = c. Dla y = x² − 4x + 3 punkt przecięcia z osią y ma wartość 3 i znajduje się w (0, 3). Ten punkt można zaznaczyć najszybciej, gdyż odczytuje się go bezpośrednio z równania.

Punkty przecięcia z osią x otrzymujemy, przyjmując y = 0 i rozwiązując ax² + bx + c = 0. Rozkład x² − 4x + 3 na czynniki daje (x − 1)(x − 3) = 0, więc punkty przecięcia z osią x odpowiadają x = 1 oraz x = 3. Równanie kwadratowe bez rozwiązań rzeczywistych daje parabolę, która nigdy nie przecina osi x, a jedno rozwiązanie podwójne oznacza, że parabola dotyka osi w jednym punkcie.

Rozwiązany przykład: narysuj y = x² − 4x + 3

Połączmy wszystkie kroki, aby narysować y = x² − 4x + 3.

1. Kierunek: a = 1 jest dodatnie, więc ramiona paraboli są skierowane w górę.
2. Wierzchołek: x = 4 ÷ 2 = 2 oraz y = −1, więc wierzchołek to (2, −1).
3. Oś symetrii: prosta x = 2.
4. Punkt przecięcia z osią y: c = 3, w punkcie (0, 3).
5. Punkty przecięcia z osią x: (x − 1)(x − 3) = 0, więc x = 1 oraz x = 3.

Zaznacz wierzchołek (2, −1), punkt przecięcia z osią y (0, 3) oraz miejsca zerowe (1, 0) i (3, 0). Odbij punkt przecięcia z osią y względem osi symetrii, aby otrzymać odpowiadający mu punkt (4, 3). Poprowadź przez punkty gładką krzywą, aby ukończyć parabolę. Symulator kalkulatora graficznego rysuje tę samą krzywą i zaznacza wierzchołek oraz miejsca zerowe po wprowadzeniu równania.

Rysowanie z postaci kanonicznej

W postaci kanonicznej parabola jest zapisana jako y = a(x − h)² + k, gdzie (h, k) jest wierzchołkiem. Ta postać pokazuje wierzchołek bezpośrednio, bez obliczeń. Równanie y = (x − 2)² − 1 jest postacią kanoniczną y = x² − 4x + 3, więc wierzchołek (2, −1) można odczytać wprost z wartości h i k.

Przekształcenie postaci ogólnej do postaci kanonicznej wymaga uzupełnienia do pełnego kwadratu, ale przy rysowaniu wykresu postać kanoniczna całkowicie eliminuje etap wyznaczania wierzchołka. Zaznacz wierzchołek na podstawie h i k, użyj a do określenia kierunku i szerokości, a następnie znajdź jeszcze jeden punkt, aby wyznaczyć krzywą. Powiązany poradnik o tym, jak narysować wykres równania liniowego, omawia przypadek prostej, na którym opiera się postać kanoniczna.

Często zadawane pytania

Jak narysować parabolę krok po kroku?

Wyznacz wierzchołek, narysuj oś symetrii, zaznacz punkt przecięcia z osią y, znajdź punkty przecięcia z osią x, jeśli istnieją, a następnie poprowadź przez punkty gładką krzywą w kształcie litery U. Dla y = ax² + bx + c współrzędna x wierzchołka to −b podzielone przez 2a. Zaznacz wierzchołek, użyj osi symetrii do lustrzanego odbicia punktów i połącz je w parabolę.

Jak znaleźć wierzchołek paraboli?

Wyznacz współrzędną x wierzchołka ze wzoru x równa się −b podzielone przez 2a, a następnie podstaw tę wartość x do równania, aby otrzymać współrzędną y. Dla y = x² − 4x + 3 wartość x jest równa 4 podzielone przez 2, czyli 2, a y jest równe 4 minus 8 plus 3, czyli −1, zatem wierzchołek to (2, −1). Wierzchołek jest najniższym lub najwyższym punktem paraboli.

W którą stronę jest skierowana parabola?

Ramiona paraboli są skierowane w górę, gdy współczynnik a jest dodatni, oraz w dół, gdy a jest ujemny. W y = ax² + bx + c o kierunku decyduje wyłącznie znak a. Dodatnie a daje kształt litery U z najniższym punktem w wierzchołku, a ujemne a daje odwróconą literę U z najwyższym punktem w wierzchołku.

Jak znaleźć punkty przecięcia paraboli z osią x?

Przyjmij y = 0 i rozwiąż równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0 przez rozkład na czynniki lub za pomocą wzoru kwadratowego. Rozwiązania są punktami przecięcia z osią x, w których parabola przecina tę oś. Dla y = x² − 4x + 3 rozkład na czynniki daje (x − 1)(x − 3) = 0, więc punkty przecięcia z osią x odpowiadają x = 1 oraz x = 3. Parabola może mieć dwa, jeden albo nie mieć żadnego punktu przecięcia z osią x.

Czym jest oś symetrii paraboli?

Oś symetrii to pionowa prosta, która dzieli parabolę na dwie lustrzane połowy i przechodzi przez wierzchołek. Jej równanie to x równa się −b podzielone przez 2a, czyli jest to ta sama wartość co współrzędna x wierzchołka. Dla y = x² − 4x + 3 osią symetrii jest prosta x = 2, dlatego punkty znajdujące się w równych odległościach po jej lewej i prawej stronie mają taką samą wartość y.