Como grafar uma equação linear (y = mx + b)

Como grafar uma equação linear

Grafar uma equação linear na forma inclinação-intercepto marcando o intercepto em y no eixo y, usando a inclinação como variação vertical sobre horizontal para chegar a um segundo ponto e traçando uma reta passando pelos dois pontos. Uma equação linear escrita como y = mx + b se grafica como uma reta, onde m define a inclinação e b define o intercepto em y. Para y = 2x + 1, marque o ponto (0, 1), suba 2 e avance 1 para chegar a (1, 3) e conecte os dois pontos.

Uma equação linear tem uma propriedade definidora: seu gráfico é sempre uma reta, porque a variável x tem expoente 1. Dois pontos corretos fixam essa reta completamente. A Graphing Calculator grafica qualquer equação linear no momento em que é digitada, e o método abaixo mostra como a reta é construída ponto a ponto.

A forma inclinação-intercepto

A forma inclinação-intercepto de uma equação linear é y = mx + b, onde m é a inclinação e b é o intercepto em y. A inclinação m mede o quão acentuadamente a reta sobe ou desce, e o intercepto em y b marca onde a reta cruza o eixo y. Esses dois números descrevem a reta inteira.

Leia os dois valores diretamente da equação. Em y = 2x + 1, a inclinação é 2 e o intercepto em y é 1. Em y = -0.5x + 3, a inclinação é -0.5 e o intercepto em y é 3. Uma inclinação positiva produz uma reta que sobe da esquerda para a direita, e uma inclinação negativa produz uma reta que desce da esquerda para a direita.

Como grafar uma equação linear passo a passo

Grafar uma equação linear na forma inclinação-intercepto em 4 passos:

1. Marque o intercepto em y b como um ponto no eixo y, nas coordenadas (0, b).
2. Escreva a inclinação m como uma fração, variação vertical sobre horizontal, de modo que uma inclinação de 2 se torna 2/1.
3. A partir do intercepto em y, suba pela variação vertical e avance pela variação horizontal para marcar um segundo ponto.
4. Trace uma reta passando pelos dois pontos e estenda-a pelo plano cartesiano.

Para uma inclinação negativa, desça pela variação vertical em vez de subir. Uma inclinação de -3/4 significa descer 3 e avançar 4. Dois pontos são suficientes para traçar a reta, mas um terceiro ponto, encontrado repetindo o passo de variação vertical sobre horizontal, confirma que a reta é reta.

Exemplo resolvido: grafar y = 2x + 1

Grafar a equação linear y = 2x + 1 usando a inclinação e o intercepto.

1. O intercepto em y é 1, então marque o ponto (0, 1) no eixo y.
2. A inclinação é 2, escrita como 2/1, então a variação vertical é 2 e a variação horizontal é 1.
3. A partir de (0, 1), suba 2 e avance 1 para chegar ao ponto (1, 3).
4. Trace uma reta passando por (0, 1) e (1, 3).

A reta passa por (0, 1) e (1, 3) e continua em ambas as direções. Verificar um terceiro ponto confirma o gráfico: em x = 2, y = 2(2) + 1 = 5, e o ponto (2, 5) está na mesma reta. A calculadora gráfica grafica essa reta e marca cada ponto quando a equação é inserida.

Como grafar uma equação linear a partir de dois pontos

Uma equação linear pode ser grafada a partir de quaisquer dois pontos que a satisfaçam. Escolha dois valores de x, calcule os valores correspondentes de y, marque os pontos e trace a reta. Para y = 2x + 1, x = 0 dá y = 1 e x = 3 dá y = 7, então a reta passa por (0, 1) e (3, 7).

Esse método funciona quando a inclinação é difícil de marcar manualmente, como uma inclinação de 7 ou uma fração com denominador grande. Dois pontos determinam uma reta, então quaisquer dois pares corretos produzem o mesmo gráfico. Espaçar os dois valores de x facilita traçar a reta com precisão.

Como grafar uma equação linear a partir da forma padrão

A forma padrão escreve uma equação linear como Ax + By = C. Converta-a para a forma inclinação-intercepto resolvendo para y, depois grafar com a inclinação e o intercepto. Para 2x + y = 1, subtraia 2x dos dois lados para obter y = -2x + 1, que tem inclinação -2 e intercepto em y 1.

O método dos interceptos grafica a forma padrão sem converter. Defina x como 0 e resolva para y para encontrar o intercepto em y, depois defina y como 0 e resolva para x para encontrar o intercepto em x. Para 2x + 3y = 6, o intercepto em y é (0, 2) e o intercepto em x é (3, 0), e a reta passa pelos dois. Resolver sistemas lineares construídos a partir de várias dessas equações é o ponto em que uma calculadora de matrizes assume o lugar de um único gráfico.

Casos especiais: retas horizontais e verticais

Duas equações lineares se graficam como retas especiais. Uma equação da forma y = b, como y = 3, se grafica como uma reta horizontal cruzando o eixo y em 3, porque a inclinação é 0 e y nunca muda. Uma equação da forma x = a, como x = -2, se grafica como uma reta vertical cruzando o eixo x em -2.

Uma reta vertical é o único gráfico linear que a forma inclinação-intercepto não pode expressar, porque sua inclinação é indefinida. Reconhecer essas duas formas evita o erro comum de tentar forçar x = a em y = mx + b.

Erros comuns ao grafar uma equação linear

Três erros comuns aparecem ao grafar uma equação linear:

1. Inverter variação vertical e horizontal, avançando pela variação vertical e subindo pela variação horizontal, o que inverte a inclinação.
2. Marcar o intercepto em y no eixo x em vez do eixo y.
3. Omitir o sinal negativo na inclinação, o que envia a reta na direção errada.

Dois erros adicionais distorcem o gráfico. Ler a inclinação apenas como o numerador e esquecer que a variação horizontal é 1 desloca o segundo ponto para inclinações inteiras. Traçar a reta passando por um único ponto sem uma segunda referência produz o ângulo errado. Insira a equação na Graphing Calculator para verificar a inclinação, o intercepto e a direção de qualquer reta.

Perguntas frequentes

Como grafar uma equação linear na forma inclinação-intercepto?

Marque o intercepto em y b no eixo y, depois use a inclinação m como variação vertical sobre horizontal para chegar a um segundo ponto. Trace uma reta passando pelos dois pontos. Para y = 2x + 1, marque (0, 1), suba 2 e avance 1 para chegar a (1, 3), depois conecte-os.

O que é a inclinação em y = mx + b?

A inclinação m é a taxa com que a reta sobe ou desce, escrita como variação vertical sobre horizontal. Uma inclinação de 2 significa que a reta sobe 2 unidades a cada 1 unidade para a direita. Uma inclinação positiva sobe da esquerda para a direita, e uma inclinação negativa desce da esquerda para a direita.

Como encontrar o intercepto em y de uma equação linear?

O intercepto em y é o valor de y quando x é igual a 0, e em y = mx + b é a constante b. No gráfico, é o ponto onde a reta cruza o eixo y. Para y = 2x + 1, o intercepto em y é 1, no ponto (0, 1).

Como grafar uma equação linear a partir da forma padrão?

Converta a forma padrão Ax + By = C para a forma inclinação-intercepto resolvendo para y, depois grafar com a inclinação e o intercepto. Também é possível encontrar os dois interceptos dos eixos diretamente: defina x como 0 para o intercepto em y e y como 0 para o intercepto em x, depois trace a reta passando pelos dois pontos.

Como grafar uma equação linear usando dois pontos?

Escolha dois valores de x, calcule os valores correspondentes de y a partir da equação, marque os dois pontos e trace uma reta passando por eles. Dois pontos determinam uma reta, então quaisquer dois pontos corretos produzem o gráfico completo de uma equação linear.