Como traçar o gráfico de uma parábola: passo a passo

Como traçar o gráfico de uma parábola

Trace o gráfico de uma parábola encontrando o vértice, desenhando o eixo de simetria, marcando o intercepto em y, encontrando os interceptos em x e ligando os pontos com uma curva suave em forma de U. Uma parábola é o gráfico de uma equação quadrática y = ax² + bx + c, e seu vértice fica em x = −b ÷ 2a. Para y = x² − 4x + 3, o vértice é (2, −1), e a curva cruza o eixo x em 1 e 3.

A forma de toda parábola vem do termo ao quadrado, que faz a curva subir dos dois lados de um único ponto de mudança de direção. A Graphing Calculator traça uma parábola assim que sua equação é digitada, e este guia encontra os pontos principais manualmente para que o gráfico possa ser desenhado e compreendido sem a ferramenta.

As partes de uma parábola

Uma parábola tem 4 características principais que determinam sua posição e sua forma:

1. Vértice, o ponto de mudança de direção da curva, que pode ser seu ponto mais baixo ou mais alto.
2. Eixo de simetria, a reta vertical que passa pelo vértice e espelha as duas metades.
3. Intercepto em y, onde a curva cruza o eixo y, igual à constante c.
4. Interceptos em x, onde a curva cruza o eixo x, encontrados ao resolver a equação quadrática.

Essas características vêm dos três coeficientes a, b e c. O coeficiente a determina a direção e a largura, b desloca o vértice para a esquerda ou para a direita, e c marca o intercepto em y. Ler primeiro os coeficientes permite saber como a parábola será antes de qualquer ponto ser marcado.

Passo 1: encontre a direção e a largura

O coeficiente a determina para que lado uma parábola se abre e qual é sua largura. Um a positivo abre a parábola para cima, formando um U com um ponto mais baixo, e um a negativo a abre para baixo, formando um U invertido com um ponto mais alto. Em y = x² − 4x + 3, o coeficiente a é 1; portanto, a parábola se abre para cima.

O módulo de a controla a largura. Um valor absoluto grande, como a = 4, gera uma parábola estreita, enquanto um valor pequeno, como a = 0.25, gera uma parábola larga. Ler a primeiro define as expectativas para todo o gráfico; assim, um resultado que se abre para cima e tem o vértice abaixo do eixo x precisa cruzar esse eixo duas vezes.

Passo 2: encontre o vértice e o eixo de simetria

A coordenada x do vértice é x = −b ÷ 2a, e substituí-la novamente na equação fornece a coordenada y. Para y = x² − 4x + 3, o coeficiente b é −4; portanto, x = −(−4) ÷ (2 × 1) = 4 ÷ 2 = 2. Substituir x = 2 resulta em y = 4 − 8 + 3 = −1; logo, o vértice é (2, −1).

O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice, escrita como x = 2 para esta parábola. Cada ponto de um lado dessa reta tem um ponto espelhado à mesma altura do outro lado. Graças a essa simetria, depois que o vértice e mais um ponto são conhecidos, obtém-se um segundo ponto simplesmente refletindo o primeiro através do eixo.

Passo 3: encontre os interceptos

O intercepto em y é a constante c, pois definir x como 0 deixa y = c. Para y = x² − 4x + 3, o intercepto em y é 3, no ponto (0, 3). Esse é o ponto mais rápido de marcar, já que pode ser lido diretamente da equação.

Os interceptos em x são obtidos definindo y como 0 e resolvendo ax² + bx + c = 0. Fatorar x² − 4x + 3 resulta em (x − 1)(x − 3) = 0; portanto, os interceptos em x são x = 1 e x = 3. Uma equação quadrática sem soluções reais tem uma parábola que nunca cruza o eixo x, enquanto uma única solução repetida toca o eixo em um ponto.

Exemplo resolvido: trace y = x² − 4x + 3

Reúna os passos para traçar o gráfico de y = x² − 4x + 3.

1. Direção: a = 1 é positivo; portanto, a parábola se abre para cima.
2. Vértice: x = 4 ÷ 2 = 2 e y = −1; logo, o vértice é (2, −1).
3. Eixo de simetria: a reta x = 2.
4. Intercepto em y: c = 3, em (0, 3).
5. Interceptos em x: (x − 1)(x − 3) = 0; portanto, x = 1 e x = 3.

Marque o vértice (2, −1), o intercepto em y (0, 3) e as raízes (1, 0) e (3, 0). Reflita o intercepto em y através do eixo de simetria para obter um ponto correspondente em (4, 3). Desenhe uma curva suave passando pelos pontos para completar a parábola. O simulador de calculadora gráfica traça a mesma curva e marca o vértice e as raízes quando a equação é inserida.

Gráfico a partir da forma de vértice

A forma de vértice escreve uma parábola como y = a(x − h)² + k, em que (h, k) é o vértice. Essa forma mostra o vértice diretamente, sem nenhum cálculo. A equação y = (x − 2)² − 1 é a forma de vértice de y = x² − 4x + 3; portanto, o vértice (2, −1) é lido diretamente dos valores de h e k.

A conversão da forma padrão para a forma de vértice usa o método de completar o quadrado, mas, para traçar o gráfico, a forma de vértice elimina totalmente a etapa de calcular o vértice. Marque o vértice a partir de h e k, use a para definir a direção e a largura e depois encontre mais um ponto para fixar a curva. O guia relacionado sobre como traçar o gráfico de uma equação linear aborda o caso da reta no qual a forma de vértice se baseia.

Perguntas frequentes

Como traçar o gráfico de uma parábola passo a passo?

Encontre o vértice, trace o eixo de simetria, marque o intercepto em y, encontre os interceptos em x, caso existam, e depois desenhe uma curva suave em forma de U passando pelos pontos. Para y = ax² + bx + c, o valor de x do vértice é −b dividido por 2a. Marque o vértice, use o eixo de simetria para refletir os pontos e ligue-os formando uma parábola.

Como encontrar o vértice de uma parábola?

Encontre a coordenada x do vértice com a fórmula x igual a −b dividido por 2a e depois substitua esse x na equação para obter a coordenada y. Para y = x² − 4x + 3, x é igual a 4 dividido por 2, que é 2, e y é igual a 4 menos 8 mais 3, que é −1; portanto, o vértice é (2, −1). O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola.

Para que lado uma parábola se abre?

Uma parábola se abre para cima quando o coeficiente a é positivo e para baixo quando a é negativo. Em y = ax² + bx + c, apenas o sinal de a determina a direção. Um a positivo gera uma forma de U com o ponto mais baixo no vértice, enquanto um a negativo gera um U invertido com o ponto mais alto no vértice.

Como encontrar os interceptos em x de uma parábola?

Defina y como 0 e resolva a equação quadrática ax² + bx + c = 0 por fatoração ou pela fórmula quadrática. As soluções são os interceptos em x, onde a parábola cruza o eixo x. Para y = x² − 4x + 3, a fatoração resulta em (x − 1)(x − 3) = 0; portanto, os interceptos em x estão em x = 1 e x = 3. Uma parábola pode ter dois, um ou nenhum intercepto em x.

O que é o eixo de simetria de uma parábola?

O eixo de simetria é a reta vertical que divide a parábola em duas metades espelhadas e passa pelo vértice. Sua equação é x igual a −b dividido por 2a, o mesmo valor da coordenada x do vértice. Para y = x² − 4x + 3, o eixo de simetria é a reta x = 2; assim, pontos à mesma distância à esquerda e à direita dela têm o mesmo valor de y.