Så ritar du en parabel: steg för steg

Så ritar du en parabel

Rita en parabel genom att hitta vertex, rita symmetriaxeln, markera skärningspunkten med y-axeln, hitta skärningspunkterna med x-axeln och sammanbinda punkterna med en jämn U-formad kurva. En parabel är grafen till en andragradsekvation y = ax² + bx + c, och dess vertex ligger vid x = −b ÷ 2a. För y = x² − 4x + 3 är vertex (2, −1), och kurvan korsar x-axeln vid 1 och 3.

Varje parabels form kommer från kvadrattermen, som får kurvan att stiga på båda sidor om en enda vändpunkt. Graphing Calculator ritar en parabel så snart dess ekvation skrivs in, och den här guiden visar hur du hittar de viktigaste punkterna för hand så att grafen kan ritas och förstås utan verktyget.

Parabelns delar

En parabel har 4 viktiga egenskaper som bestämmer dess läge och form:

1. Vertex, vändpunkten där kurvan ändrar riktning och som är dess lägsta eller högsta punkt.
2. Symmetriaxeln, den lodräta linjen genom vertex som speglar de två halvorna.
3. Skärningspunkten med y-axeln, där kurvan korsar y-axeln, lika med konstanten c.
4. Skärningspunkterna med x-axeln, där kurvan korsar x-axeln, som hittas genom att lösa andragradsekvationen.

Dessa egenskaper kommer från de tre koefficienterna a, b och c. Koefficienten a bestämmer riktning och bredd, b förskjuter vertex åt vänster eller höger och c markerar skärningspunkten med y-axeln. Genom att läsa av koefficienterna först kan du se hur parabeln kommer att se ut innan någon punkt har markerats.

Steg 1: bestäm riktning och bredd

Koefficienten a avgör åt vilket håll en parabel är öppen och hur bred den är. Ett positivt a öppnar parabeln uppåt till en U-form med en lägsta punkt, och ett negativt a öppnar den nedåt till ett uppochnedvänt U med en högsta punkt. I y = x² − 4x + 3 är koefficienten a lika med 1, så parabeln är öppen uppåt.

Storleken på a styr bredden. Ett stort absolutbelopp, till exempel a = 4, ger en smal parabel, medan ett litet värde, till exempel a = 0.25, ger en bred parabel. Genom att läsa av a först vet du vad du kan förvänta dig av hela grafen, så en uppåtöppen parabel med vertex under x-axeln måste korsa axeln två gånger.

Steg 2: hitta vertex och symmetriaxeln

Vertex x-koordinat är x = −b ÷ 2a, och genom att sätta in den i ekvationen får du y-koordinaten. För y = x² − 4x + 3 är koefficienten b lika med −4, så x = −(−4) ÷ (2 × 1) = 4 ÷ 2 = 2. Om x = 2 sätts in får vi y = 4 − 8 + 3 = −1, så vertex är (2, −1).

Symmetriaxeln är den lodräta linjen genom vertex, som för denna parabel skrivs x = 2. Varje punkt på ena sidan av linjen har en spegelbild på samma höjd på den andra sidan. Denna symmetri innebär att när vertex och ytterligare en punkt är kända får du en andra punkt utan extra beräkning genom att spegla den över axeln.

Steg 3: hitta skärningspunkterna

Skärningspunkten med y-axeln är konstanten c, eftersom y = c återstår när x sätts till 0. För y = x² − 4x + 3 är skärningspunkten med y-axeln 3, i punkten (0, 3). Det är den snabbaste punkten att markera eftersom den kan läsas av direkt från ekvationen.

Skärningspunkterna med x-axeln får du genom att sätta y till 0 och lösa ax² + bx + c = 0. Faktorisering av x² − 4x + 3 ger (x − 1)(x − 3) = 0, så skärningspunkterna med x-axeln ligger vid x = 1 och x = 3. En andragradsekvation utan reella lösningar ger en parabel som aldrig korsar x-axeln, och en enda dubbelrot innebär att den tangerar axeln i en punkt.

Löst exempel: rita y = x² − 4x + 3

Sätt samman stegen för att rita y = x² − 4x + 3.

1. Riktning: a = 1 är positivt, så parabeln är öppen uppåt.
2. Vertex: x = 4 ÷ 2 = 2 och y = −1, så vertex är (2, −1).
3. Symmetriaxel: linjen x = 2.
4. Skärningspunkt med y-axeln: c = 3, i (0, 3).
5. Skärningspunkter med x-axeln: (x − 1)(x − 3) = 0, så x = 1 och x = 3.

Markera vertex (2, −1), skärningspunkten med y-axeln (0, 3) och nollställena (1, 0) och (3, 0). Spegla skärningspunkten med y-axeln över symmetriaxeln för att få en motsvarande punkt i (4, 3). Dra en jämn kurva genom punkterna för att färdigställa parabeln. Simulatorn för grafräknaren ritar samma kurva och markerar vertex och nollställena när ekvationen matas in.

Rita från vertexform

I vertexform skrivs en parabel som y = a(x − h)² + k, där (h, k) är vertex. Den här formen visar vertex direkt, utan beräkning. Ekvationen y = (x − 2)² − 1 är vertexformen av y = x² − 4x + 3, så vertex (2, −1) kan läsas av direkt från värdena h och k.

För att omvandla standardform till vertexform används kvadratkomplettering, men när grafen ska ritas gör vertexformen att steget att hitta vertex försvinner helt. Markera vertex utifrån h och k, använd a för att bestämma riktning och bredd och hitta sedan ytterligare en punkt för att bestämma kurvan. Den relaterade guiden om hur man ritar grafen till en linjär ekvation behandlar fallet med den räta linjen som vertexformen bygger vidare på.

Vanliga frågor

Hur ritar man en parabel steg för steg?

Hitta vertex, rita symmetriaxeln, markera skärningspunkten med y-axeln, hitta skärningspunkterna med x-axeln om de finns och dra sedan en jämn U-formad kurva genom punkterna. För y = ax² + bx + c är vertex x-värde −b delat med 2a. Markera vertex, använd symmetriaxeln för att spegla punkter och sammanbind dem till en parabel.

Hur hittar man en parabels vertex?

Hitta vertex x-koordinat med formeln x är lika med −b delat med 2a och sätt sedan in detta x i ekvationen för att få y-koordinaten. För y = x² − 4x + 3 är x lika med 4 delat med 2, vilket är 2, och y är lika med 4 minus 8 plus 3, vilket är −1, så vertex är (2, −1). Vertex är parabelns lägsta eller högsta punkt.

Åt vilket håll är en parabel öppen?

En parabel är öppen uppåt när koefficienten a är positiv och nedåt när a är negativ. I y = ax² + bx + c avgör enbart tecknet på a riktningen. Ett positivt a ger en U-form med den lägsta punkten i vertex, och ett negativt a ger ett uppochnedvänt U med den högsta punkten i vertex.

Hur hittar man en parabels skärningspunkter med x-axeln?

Sätt y till 0 och lös andragradsekvationen ax² + bx + c = 0 genom faktorisering eller med lösningsformeln. Lösningarna är skärningspunkterna med x-axeln, där parabeln korsar x-axeln. För y = x² − 4x + 3 ger faktorisering (x − 1)(x − 3) = 0, så skärningspunkterna med x-axeln ligger vid x = 1 och x = 3. En parabel kan ha två, en eller inga skärningspunkter med x-axeln.

Vad är en parabels symmetriaxel?

Symmetriaxeln är den lodräta linje som delar parabeln i två spegelvända halvor och går genom vertex. Dess ekvation är x är lika med −b delat med 2a, samma värde som vertex x-koordinat. För y = x² − 4x + 3 är symmetriaxeln linjen x = 2, så punkter på samma avstånd till vänster och höger om den har samma y-värde.