كيفية رسم قطع مكافئ: خطوة بخطوة

كيفية رسم قطع مكافئ

ارسم قطعًا مكافئًا بإيجاد الرأس، ورسم محور التماثل، وتحديد نقطة تقاطع محور y، وإيجاد نقاط تقاطع محور x، ووصل النقاط بمنحنى أملس على شكل U. القطع المكافئ هو الرسم البياني لمعادلة تربيعية y = ax² + bx + c، ويقع رأسه عند x = −b ÷ 2a. بالنسبة إلى y = x² − 4x + 3، الرأس هو (2, −1)، ويقطع المنحنى محور x عند 1 و3.

ينشأ شكل كل قطع مكافئ من الحد التربيعي، الذي يجعل المنحنى يرتفع على جانبي نقطة انعطاف واحدة. ترسم آلة الرسم البياني قطعًا مكافئًا فور كتابة معادلته، ويحدد هذا الدليل النقاط الرئيسية يدويًا حتى يمكن رسم الشكل وفهمه دون الأداة.

أجزاء القطع المكافئ

للقطع المكافئ 4 خصائص رئيسية تحدد موضعه وشكله:

1. الرأس، وهو نقطة الانعطاف التي يغير عندها المنحنى اتجاهه، سواء كانت أدنى نقطة فيه أو أعلاها.
2. محور التماثل، وهو الخط الرأسي المار بالرأس الذي يعكس النصفين.
3. نقطة تقاطع محور y، حيث يقطع المنحنى محور y، وتساوي الثابت c.
4. نقاط تقاطع محور x، حيث يقطع المنحنى محور x، وتوجد بحل المعادلة التربيعية.

تأتي هذه الخصائص من المعاملات الثلاثة a وb وc. يحدد المعامل a الاتجاه والعرض، ويزيح b الرأس إلى اليسار أو اليمين، ويحدد c نقطة تقاطع محور y. تخبرك قراءة المعاملات أولًا بما سيبدو عليه القطع المكافئ قبل تحديد أي نقطة.

الخطوة 1: تحديد الاتجاه والعرض

يحدد المعامل a اتجاه انفتاح القطع المكافئ ومدى عرضه. تفتح قيمة a الموجبة القطع المكافئ إلى أعلى على شكل U له أدنى نقطة، وتفتحه قيمة a السالبة إلى أسفل على شكل U مقلوب له أعلى نقطة. في y = x² − 4x + 3، المعامل a هو 1، لذا ينفتح القطع المكافئ إلى أعلى.

يتحكم مقدار a في العرض. تنتج القيمة المطلقة الكبيرة، مثل a = 4، قطعًا مكافئًا ضيقًا، بينما تنتج القيمة الصغيرة، مثل a = 0.25، قطعًا عريضًا. تحدد قراءة a أولًا توقعات الرسم كله، لذلك يجب أن يقطع الرسم المنفتح إلى أعلى، الذي يقع رأسه أسفل محور x، المحور مرتين.

الخطوة 2: إيجاد الرأس ومحور التماثل

إحداثي x للرأس هو x = −b ÷ 2a، ويعطي تعويضه في المعادلة إحداثي y. بالنسبة إلى y = x² − 4x + 3، المعامل b هو −4، لذا x = −(−4) ÷ (2 × 1) = 4 ÷ 2 = 2. يعطي تعويض x = 2 القيمة y = 4 − 8 + 3 = −1، لذا فالرأس هو (2, −1).

محور التماثل هو الخط الرأسي المار بالرأس، ويكتب x = 2 لهذا القطع المكافئ. لكل نقطة على أحد جانبي هذا الخط نقطة منعكسة على الارتفاع نفسه في الجانب الآخر. يعني هذا التماثل أنه بمجرد معرفة الرأس ونقطة أخرى، نحصل على نقطة ثانية بعكسها عبر المحور.

الخطوة 3: إيجاد نقاط التقاطع

نقطة تقاطع محور y هي الثابت c، لأن جعل x تساوي 0 يترك y = c. بالنسبة إلى y = x² − 4x + 3، نقطة تقاطع محور y هي 3، عند النقطة (0, 3). هذه أسرع نقطة يمكن تحديدها، لأنها تُقرأ مباشرة من المعادلة.

تأتي نقاط تقاطع محور x من جعل y تساوي 0 وحل ax² + bx + c = 0. يعطي تحليل x² − 4x + 3 المقدار (x − 1)(x − 3) = 0، لذا نقطتا تقاطع محور x هما x = 1 وx = 3. المعادلة التربيعية التي ليس لها حلول حقيقية يكون لها قطع مكافئ لا يقطع محور x أبدًا، والحل الواحد المكرر يلامس المحور عند نقطة واحدة.

مثال محلول: رسم y = x² − 4x + 3

اجمع الخطوات لرسم y = x² − 4x + 3.

1. الاتجاه: a = 1 موجبة، لذا ينفتح القطع المكافئ إلى أعلى.
2. الرأس: x = 4 ÷ 2 = 2، وy = −1، لذا فالرأس هو (2, −1).
3. محور التماثل: الخط x = 2.
4. نقطة تقاطع محور y: ‏c = 3، عند (0, 3).
5. نقاط تقاطع محور x: ‏(x − 1)(x − 3) = 0، لذا x = 1 وx = 3.

حدد الرأس (2, −1)، ونقطة تقاطع محور y وهي (0, 3)، والجذرين (1, 0) و(3, 0). اعكس نقطة تقاطع محور y عبر محور التماثل لتحصل على نقطة مقابلة عند (4, 3). ارسم منحنى أملس يمر بالنقاط لإكمال القطع المكافئ. يرسم محاكي آلة الرسم البياني المنحنى نفسه ويحدد الرأس والجذور عند إدخال المعادلة.

الرسم من صيغة الرأس

تكتب صيغة الرأس القطع المكافئ على النحو y = a(x − h)² + k، حيث (h, k) هو الرأس. تُظهر هذه الصيغة الرأس مباشرة دون حساب. المعادلة y = (x − 2)² − 1 هي صيغة الرأس للمعادلة y = x² − 4x + 3، لذا يُقرأ الرأس (2, −1) مباشرة من قيمتي h وk.

يستخدم التحويل من الصيغة القياسية إلى صيغة الرأس إكمال المربع، لكن صيغة الرأس توفر خطوة إيجاد الرأس بالكامل عند الرسم. حدد الرأس من h وk، واستخدم a لتحديد الاتجاه والعرض، ثم أوجد نقطة أخرى لتثبيت المنحنى. يشرح الدليل المرتبط حول كيفية رسم معادلة خطية حالة الخط المستقيم التي تُبنى عليها صيغة الرأس.

الأسئلة الشائعة

كيف ترسم قطعًا مكافئًا خطوة بخطوة؟

أوجد الرأس، وارسم محور التماثل، وحدد نقطة تقاطع محور y، وأوجد نقاط تقاطع محور x إن وجدت، ثم ارسم منحنى أملس على شكل U يمر بالنقاط. بالنسبة إلى y = ax² + bx + c، قيمة x للرأس هي −b مقسومة على 2a. حدد الرأس، واستخدم محور التماثل لعكس النقاط، ووصل بينها لتكوين قطع مكافئ.

كيف تجد رأس القطع المكافئ؟

أوجد إحداثي x للرأس بالصيغة x يساوي −b مقسومة على 2a، ثم عوض بقيمة x هذه في المعادلة لإيجاد إحداثي y. بالنسبة إلى y = x² − 4x + 3، تساوي x العدد 4 مقسومًا على 2، أي 2، وتساوي y العدد 4 ناقص 8 زائد 3، أي −1، لذا فالرأس هو (2, −1). الرأس هو أدنى نقطة أو أعلى نقطة في القطع المكافئ.

في أي اتجاه ينفتح القطع المكافئ؟

ينفتح القطع المكافئ إلى أعلى عندما يكون المعامل a موجبًا وإلى أسفل عندما يكون سالبًا. في y = ax² + bx + c، تحدد إشارة a وحدها الاتجاه. تعطي قيمة a الموجبة شكل U له أدنى نقطة عند الرأس، وتعطي قيمة a السالبة شكل U مقلوبًا له أعلى نقطة عند الرأس.

كيف تجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور x؟

اجعل y تساوي 0 وحل المعادلة التربيعية ax² + bx + c = 0 بالتحليل أو باستخدام الصيغة التربيعية. الحلول هي نقاط تقاطع محور x، حيث يقطع القطع المكافئ محور x. بالنسبة إلى y = x² − 4x + 3، يعطي التحليل (x − 1)(x − 3) = 0، لذا تقع نقطتا تقاطع محور x عند x = 1 وx = 3. قد يكون للقطع المكافئ نقطتا تقاطع مع محور x أو نقطة واحدة أو لا توجد له نقاط تقاطع.

ما محور تماثل القطع المكافئ؟

محور التماثل هو الخط الرأسي الذي يقسم القطع المكافئ إلى نصفين متطابقين كصورة في المرآة، ويمر بالرأس. معادلته هي x تساوي −b مقسومة على 2a، وهي القيمة نفسها لإحداثي x للرأس. بالنسبة إلى y = x² − 4x + 3، محور التماثل هو الخط x = 2، لذلك تتشارك النقاط الواقعة على مسافات متساوية إلى يساره ويمينه قيمة y نفسها.